1. SOLUCION POR FACTORIZACION.
Como toda ecuación cuadrática es equivalente a una ecuación en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, se procede así:
Si ax2 + bx + c = (x + r1).(x + r2), entonces, la ecuación ax2 + bx + c = 0 es equivalente a: (x + r1).(x + r2) = 0 (1).
La ecuación (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los números reales: X.Y = 0 ↔ X = 0 ν Y = 0.
2. SOLUCION POR COMPLEMENTO DE CUADRADOS.
Este método es el más antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuación cuadrática.
Se supone que la ecuación: ax2 + bx + c = 0, x ≠ 0, es equivalente a la ecuación cuadrática: x2 + px = q (1).
Sumando 
en ambos miembros de la ecuación (1), se obtiene:
ó 
Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros de la última igualdad (lo cual tiene sentido solo si 4q + p2 ≥ 0), se obtiene:
, de donde 
(2).
La fórmula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuación cuadrática (1), que es equivalente a la ecuación: .
ax2 + bx + c = 0,
3. SOLUCION POR FORMULA GENERAL
Usando el método de completación de cuadrados, demuestre que la solución de la ecuación cuadrática: ax2 + bx + c = 0, con x ≠ 0, viene dada por :
Solución:
La ecuación: ax2 + bx + c = 0, con x ≠ 0,es equivalente a la ecuación :
Sumando 
,en ambos miembros de la igualdad anterior, se obtiene:
O equivalentemente, 
Extrayendo la raíz cuadrada en ambos miembros de la última igualdad(si b2-4ac ≥ 0), se obtiene:
De donde : 
(2)
La fórmula (2) se conoce como: fórmula general para resolver la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0, con x ≠ 0.
La forma ax2 + bx + c = 0 se llama la forma estándar de una ecuación cuadrática. Antes de resolver una ecuación cuadrática usando la fórmula cuadrática, es vital estar seguros de que la ecuación tenga esta forma. Si no, podríamos usar los valores incorrectos de a, b, o c y la fórmula dará soluciones incorrectas.
Ejemplo | |||||||||||||||||||||||
Problema | Reescribe la ecuación 3x + 2x2 + 4 = 5 en su forma estándar e identifica a, b y c. | ||||||||||||||||||||||
| 3x + 2x2 + 4 = 5 3x + 2x2 + 4 – 5 = 5 – 5 | Primero asegúrate de que el lado derecho de la ecuación sea 0. En este caso, todo lo que tienes que hacer es restar 5 de ambos lados. | |||||||||||||||||||||
| 3x + 2x2 – 1 = 0 2x2 + 3x – 1 = 0 | Simplifica y escribe los términos con el exponente en la variable en orden descendiente. | |||||||||||||||||||||
|
a = 2, b = 3, c = −1
| Ahora que la ecuación está en su forma estándar, puedes leer los valores de a, b y c de los coeficientes y la constante. Observa que como la constante 1 se resta, c debe ser negativa. | |||||||||||||||||||||
Respuesta | 2x2 + 3x – 1 = 0; a = 2, b = 3, c = −1 | ||||||||||||||||||||||
Ejemplo | |||||||||||||||||||||||
Problema | Reescribe la ecuación 2(x + 3)2 – 5x = 6 en su forma estándar e identifica a, b y c. | ||||||||||||||||||||||
| 2(x + 3)2 – 5x = 6 2(x + 3)2 – 5x – 6 = 6 – 6 | Primero asegúrate de que el lado derecho de la ecuación sea 0. | |||||||||||||||||||||
| 2(x2 + 6x + 9) – 5x – 6 = 0 2x2 + 12x + 18 – 5x – 6 = 0 2x2 + 12x – 5x + 18 – 6 = 0 2x2 + 7x + 12 = 0 | Expande el binomio cuadrado, luego simplifica combinando términos semejantes.
Asegúrate de escribir los términos con el exponente en la variable en orden descendiente. | |||||||||||||||||||||
|
a = 2, b = 7, c = 12
| Ahora que la ecuación está en su forma estándar, puedes leer los valores de a, b y c de los coeficientes y la constante. | |||||||||||||||||||||
Respuesta | 2x2 + 7x + 12 = 0; a = 2, b = 7, c = 12 | ||||||||||||||||||||||
Identifica los valores de a, b y c en su forma estándar de la ecuación 3x + x2 = 6.
A) a = 3, b = 1, c = 6 B) a = 1, b = 3, c = 6 C) a = 1, b = 3, c = −6 D) a = 3, b = 1, c = −6
|
Derivando la fórmula cuadrática
Completemos el cuadrado en la ecuación general para ver exactamente cómo se produce la fórmula cuadrática. Recuerda el proceso de completar el cuadrado.
· Empieza con una ecuación de la forma x2 + bx + c = 0.
· Reescribe la ecuación de modo que x2 + bx quede despejado a un lado.
· Completa el cuadrado sumando 
a ambos lados.
· Reescribe el trinomio cuadrado perfecto como el cuadrado de un binomio.
· Usa la propiedad de la raíz cuadrada y resuelve x.
¿Puedes completar el cuadrado en la ecuación cuadrática general ax2 + bx + c = 0? Inténtalo tú antes de continuar con el ejemplo siguiente. Pista: Observa que en la ecuación general, el coeficiente de x2 no es igual a 1. Puedes dividir la ecuación entre a, lo que hace las expresiones un poco complicadas, pero si tienes cuidado, puede salir bien y al final, ¡tendrás la fórmula cuadrática!
Ejemplo | |||
Problema | Calcula el cuadrado de ax2 + bx + c = 0 para encontrar la fórmula cuadrática. | ||
|
|
| Divide entre a ambos lados de la ecuación para que el coeficiente de x2 sea 1. |
|
|
| Reescribe de modo que el lado izquierdo sea x2 + bx (aunque en este caso bx realmente es |
|
|
| Como el coeficiente de x es |
|
|
| Escribe el lado izquierdo como un binomio cuadrado. |
|
|
| Evalúa |
|
|
| Escribe las fracciones en el lado derecho usando un común denominador. |
|
|
| Suma las fracciones de la derecha. |
|
|
| Usa la Propiedad de la Raíz Cuadrada. ¡Recuerda que quieres las dos raíces, positiva y negativa! |
|
|
| Resta |
|
|
| El denominador dentro del radical es un cuadrado perfecto, entonces:
|
Respuesta |
|
| Suma las fracciones ya que tienen un común denominador. |
).
, el valor a sumar a ambos lados es 
.
de ambos lados para despejar x.
Y ahí está, la fórmula cuadrática.
La fórmula cuadrática funcionará con cualquier ecuación cuadrática, pero sólo si la ecuación está en la forma estándar, 
. Para usarla, sigue estos pasos.
· Pon primero la ecuación en su forma estándar.
· Identifica los coeficientes, a, b y c. Ten cuidado de incluir los signos negativos si los términos bx o c se restan.
· Sustituye los valores por los coeficientes en la fórmula cuadrática.
· Simplifica lo más posible.
· Usa el ± en frente del radical para separar la solución en dos valore: uno en el que la raíz cuadrada se suma y el otro en el que la raíz cuadrada se resta.
· Simplifica ambos valores para obtener las posibles soluciones.
Son bastantes pasos. Intentemos usar la fórmula cuadrática para primero resolver una ecuación relativamente simple; luego volveremos a resolver usando otro método de factorización.
Ejemplo | |||
Problema | Usar la fórmula cuadrática para resolver la ecuación x2 + 4x = 5. | ||
| x2 + 4x = 5 x2 + 4x – 5 = 0 |
| Primero escribe la ecuación en su forma estándar. |
|
|
| a = 1, b = 4, c = −5
Observa que el signo de resta significa que la constante c es negativa. |
|
|
| Sustituye los valores en la fórmula cuadrática. |
|
|
| Simplifica, teniendo cuidado de usar los signos correctos. |
|
|
| Simplifica un poco más. |
|
|
| Simplifica el radical: |
|
o
|
| Separa y simplifica para encontrar las soluciones de la ecuación cuadrática. Observa que en una, se suma 6 y en la otra se resta 6.. |
Respuesta | x = 1 o −5 |
|
|
Puedes comprobar estas soluciones sustituyendo 1 y −5 en la ecuación original.
x = 1 | x = −5 |
x2 + 4x = 5 | x2 + 4x = 5 |
(1)2 + 4(1) = 5 | (−5)2 + 4(−5) = 5 |
1 + 4 = 5 | 25 ‒ 20 = 5 |
5 = 5 | 5 = 5 |
Obtienes enunciados válidos, por lo que sabes que ambas soluciones funcionan: x = 1 o −5. ¡Has resuelto con éxito una ecuación usando la fórmula cuadrática!
Sin embargo, al ver x2 + 4x = 5, pudiste haber pensado “ya sé cómo resolver esto; puedo reescribir la ecuación como x2 + 4x – 5 = 0 y luego factorizar como (x + 5)(x – 1) = 0, entonces x = −5 o 1.” Esto es correcto, ¡y felicidades si encontraste esta conexión!
Algunas veces, podría ser más fácil resolver una ecuación usando los métodos convencionales de factorización, como encontrar números pares que se suman a un número (en este ejemplo, 4) y que producen una cantidad específica (en este ejemplo, −5) cuando se multiplican. El poder de la fórmula cuadrática es que puede usarse para resolver cualquier ecuación cuadrática, incluso aquellas donde no se puede encontrar el número de combinaciones.
La mayoría de las ecuaciones cuadráticas que hemos visto han tenido dos soluciones, como la anterior. El siguiente ejemplo es un poco distinto.
Ejemplo | |||
Problema | Usa la fórmula cuadrática para resolver la ecuación x2 – 2x = 6x – 16. | ||
| x2 – 2x = 6x – 16 x2 – 2x – 6x + 16 = 0 x2 – 8x + 16 = 0 |
| Resta 6x de cada lado y suma 16 a ambos lados para poner la ecuación en su forma estándar. |
|
|
| Identifica los coeficientes a, b y c. x2 = 1x2, entonces a = 1. Como 8x se resta, b es negativo.
a = 1, b = −8, c = 16 |
|
|
|
Sustituye los valores en la fórmula cuadrática. |
|
|
| Simplifica. |
|
|
| Como la raíz cuadrada de 0 es 0 y sumar o restar 0 da el mismo resultado, sólo hay un valor posible. |
Respuesta | x = 4 |
|
|
De nuevo, comprueba usando la ecuación original.
x2 – 2x = 6x – 16 |
(4)2 – 2(4) = 6(4) – 16 |
16 – 8 = 24 – 16 |
8 = 8 |
Intentemos un último ejemplo. Este también tiene una diferencia en la solución.
Ejemplo | |||
Problema | Usa la fórmula cuadrática para resolver la ecuación x2 + 2x = −5. | ||
| x2 + 2x = −5 x2 + 2x + 5 = 0 |
| Primero escribe la ecuación en su forma estándar. |
|
|
| a = 1, b = 2, c = 5
|
|
|
|
Sustituye los valores en la fórmula cuadrática. |
|
|
| Simplifica, teniendo cuidado con los signos. |
|
|
| Simplifica un poco más. |
|
|
| Simplifica el radical, ¡pero observa que el número dentro del radical es negativo! La raíz cuadrada de −16 es imaginaria. |
|
o
|
| Separa y simplifica para encontrar las soluciones de la ecuación cuadrática. |
Respuesta | x = −1 + 2i o −1 – 2i |
|
|
Comprueba estas soluciones en la ecuación original. Ten cuidado cuando expandes los cuadrados y reemplazas i2 con -1.
x = −1 + 2i | x = −1 – 2i |
x2 + 2x = −5 | x2 + 2x = −5 |
(−1+2i)2 + 2(−1 + 2i) = −5 | (−1 – 2i)2 + 2(−1 – 2i) = −5 |
1 – 4i + 4i2 – 2 + 4i = −5 | 1 + 4i + 4i2 – 2 – 4i = −5 |
1 – 4i + 4(−1) – 2 + 4i = −5 | 1 + 4i + 4(-1) – 2 – 4i = −5 |
1 – 4 – 2 = −5 | 1 – 4 – 2 = −5 |
−5 = −5 | −5 = −5 |
Usa la fórmula cuadrática para resolver la ecuación x2 – 2x – 4 = 0.
A) x = 2 B) x =11, x = −9 C) D)
|
Estos ejemplos han mostrado que una ecuación cuadrática puede tener dos soluciones reales, una solución real, o dos soluciones complejas.
En la fórmula cuadrática, la expresión dentro del símbolo radical determina el número y tipo de soluciones que dará la fórmula. Esta expresión, b2 – 4ac, se llama el discriminante de la ecuación ax2 + bx + c = 0.
Pensemos sobre cómo afecta el discriminante la evaluación de 
y cómo ayuda a determinar el conjunto solución.
· Si b2 – 4ac > 0, entonces el número dentro del radical será un valor positivo. Siempre puedes encontrar la raíz cuadrada de un positivo, por lo que evaluar la fórmula cuadrática resultará en dos soluciones reales (una sumado la raíz cuadrada positiva y la otra restando).
· Si b2 – 4ac = 0, entonces sacarás la raíz cuadrada de 0, que es 0. Como sumar y restar 0 da el mismo resultado, la porción "±" de la fórmula no importa. Habrá una solución real.
· Si b2 – 4ac < 0, entonces el número dentro del radical será un valor negativo. Como no puedes encontrar la raíz cuadrada de un número negativo usando números reales, no habrá soluciones reales. Sin embargo, puedes usar números imaginarios. Entonces tendrás soluciones complejas, una sumando la raíz cuadrada imaginaria y la otra restando.
Ejemplo | |||
Problema | Usa el discriminante para determinar cuántas soluciones hay y de qué tiempo de la ecuación cuadrática x2 – 4x + 10 = 0. |
| |
| b2 – 4ac (−4)2 – 4(1)(10) | Evalúa b2 – 4ac. Primero observa que a = 1, b = −4 y c = 10. | |
| 16 – 40 = −24 | El resultado es un número negativo. El discriminante es negativo, por lo que la ecuación cuadrática tiene dos soluciones complejas. | |
Respuesta | La ecuación cuadrática x2 – 4x + 10 = 0 tiene dos soluciones complejas. | ||
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