¿Qué es una sucesión?

Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) en un cierto orden.

 

 

Finita o infinita

Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita,
si no es una sucesión finita

Ejemplos:

{1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita)

{20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita

{1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es una sucesión infinita)

{4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás

{1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión infinita donde vamos duplicando cada término

{a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en order alfabético

{a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en el nombre "alfredo"

{0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s (sí, siguen un orden, en este caso un orden alternativo)

En orden

Cuando decimos que los términos están "en orden", ¡nosotros somos los que decimos qué orden! Podría ser adelante, atrás... o alternando... ¡o el que quieras!

Como un conjunto

Una sucesión es muy parecida a un conjunto, pero:

• los términos están en orden (en los conjuntos el orden no importa).
• el mismo valor puede aparecer muchas veces (en los conjuntos solo una vez).

Ejemplo: {0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s.

El conjunto sería solo {0,1}

Notación

Las secuencias también usan la misma notación que los conjuntos: se enumera cada elemento, separados por una coma, y luego se ponen llaves alrededor de todo.

{3, 5, 7, ...}

Los corchetes { } también se conocen como "llaves".

La regla

Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término.

Ejemplo: la sucesión {3, 5, 7, 9, ...} empieza por 3 y salta 2 cada vez:

¡Pero la regla debería ser una fórmula!

Decir que "empieza por 3 y salta 2 cada vez" no nos dice cómo se calcula el:

• 10º término,
• 100º término, o
• n-ésimo término (donde n puede ser cualquier número positivo que queramos).

Así que queremos una fórmula con "n" dentro (donde n será la posición que tiene el término).

Entonces, ¿cuál sería la regla para {3, 5, 7, 9, ...}?

Primero, vemos que la sucesión sube 2 cada vez, así que podemos adivinar que la regla va a ser "2 × n". Vamos a verlo:

Probamos la regla: 2n

n	Término	Prueba
1	3	2n = 2×1 = 2
2	5	2n = 2×2 = 4
3	7	2n = 2×3 = 6

Esto casi funciona... pero la regla da todo el tiempo valores 1 unidad menos de lo que debería, así que vamos a cambiarla un poco:

Probamos la regla: 2n+1

n	Término	Regla
1	3	2n+1 = 2×1 + 1 = 3
2	5	2n+1 = 2×2 + 1 = 5
3	7	2n+1 = 2×3 + 1 = 7

¡Funciona!

Así que en vez de decir "empieza por 3 y salta 2 cada vez" escribimos la regla como

2n+1

Ahora, por ejemplo, podemos calcular el término 100º:

2 × 100 + 1 = 201

Muchas Reglas

Pero las matemáticas son tan poderosas que podemos encontrar más de una regla que funcione para cualquier sucesión.

Ejemlpo: la sucesión {3, 5, 7, 9, ...}

Acabamos de mostrar que la regla para {3, 5, 7, 9, ...} es: 2n+1

Y obtuvimos: {3, 5, 7, 9, 11, 13, ...}

¿Pero podemos encontrar otra regla?

¿Qué tal "números impares que no tengan un 1 en sus dígitos"?:

Tendríamos: {3, 5, 7, 9, 23, 25, ...}

¡Una sucesión completamente diferente!

Y podríamos encontrar más reglas que coincidan con {3, 5, 7, 9, ...}. ¡De verdad!

Por lo tanto, es mejor decir "Una regla" en lugar de "La regla" (a menos que sepamos que es la regla correcta).

Notación

Para que sea más fácil escribir las reglas, normalmente lo hacemos así:

xn es el término n es la posición de ese término

Ejemplo: Para hablar del "quinto término" sólo tienes que escribir: x₅

Entonces podemos escribir una regla para {3, 5, 7, 9, ...} en forma de ecuación, así:

x_n = 2n+1

Ahora, si queremos calcular el 10º término, podemos escribir:

x₁₀ = 2n+1 = 2×10+1 = 21

¿Puedes calcular el 50º término? ¿Y el 500º?

Aquí está otro ejemplo:

Ejemplo: Calcula los primeros 4 términos de esta sucesión:

{a_n} = { (-1/n)ⁿ }

Operaciones:

• a₁ = (-1/1)¹ = -1
• a₂ = (-1/2)² = 1/4
• a₃ = (-1/3)³ = -1/27
• a₄ = (-1/4)⁴ = 1/256

Respuesta:

{a_n} = { -1, 1/4, -1/27, 1/256, ... }

Sucesiones especiales

Ahora veamos algunas sucesiones especiales y sus reglas:

Sucesiones aritméticas

El ejemplo que acabamos de usar, {3,5,7,9,...}, es una sucesión aritmética (o progresión aritmética), porque la diferencia entre un término y el siguiente es una constante.

Ejemplos

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...

Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada dos términos.
La regla es x_n = 3n−2

En general, podemos escribir una sucesión aritmética de esta forma:

{a, a+d, a+2d, a+3d, ... }

donde:

• a es el primer término, y
• d es la diferencia entre los términos (llamada "diferencia común")

Y podemos establecer la regla:

x_n = a + d(n-1)

(Usamos "n-1" porque la d no se usa en el primer término).

Sucesiones geométricas

En una sucesión geométrica cada término se calcula multiplicando el anterior por una constante.

Ejemplos:

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...

Esta sucesión tiene un factor 2 entre cada dos términos.
La regla es x_n = 2ⁿ

En general, podemos escribir una sucesión geométrica de esta forma:

{a, ar, ar², ar³, ... }

donde:

• a es el primer término, y
• r es la proporción entre cada par de términos (llamada "razón común")

Nota: r no puede ser 0.

• Cuando r=0, obtenemos la sucesión {a,0,0,...}, la cual no es geométrica.

Y la regla es:

x_n = ar^(n-1)

(Usamos "n-1" porque ar⁰ es el 1er término)